LC 873. 最长的斐波那契子序列的长度
题目描述
这是 LeetCode 上的 873. 最长的斐波那契子序列的长度 ，难度为 中等。
如果序列 $X_1, X_2, …, X_n$ 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：
n >= 3- 对于所有
i + 2 <= n，都有 $Xi + X{i+1} = X_{i+2}$
给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回 $0$ 。
回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列。
示例 1：1
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5输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: 5
解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。
示例 2：1
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5输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]
输出: 3
解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。
提示：
- $3 <= arr.length <= 1000$
- $1 <= arr[i] < arr[i + 1] <= 10^9$
序列 DP
定义 $f[i][j]$ 为使用 $arr[i]$ 为斐波那契数列的最后一位，使用 $arr[j]$ 为倒数第二位（即 $arr[i]$ 的前一位）时的最长数列长度。
不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何计算，首先根据斐波那契数列的定义，我们可以直接算得 $arr[j]$ 前一位的值为 $arr[i] - arr[j]$，而快速得知 $arr[i] - arr[j]$ 值的坐标 $t$，可以利用 arr 的严格单调递增性质，使用「哈希表」对坐标进行转存，若坐标 $t$ 存在，并且符合 $t < j$，说明此时至少凑成了长度为 $3$ 的斐波那契数列，同时结合状态定义，可以使用 $f[j][t]$ 来更新 $f[i][j]$，即有状态转移方程：
同时，当我们「从小到大」枚举 $i$，并且「从大到小」枚举 $j$ 时，我们可以进行如下的剪枝操作：
- 可行性剪枝：当出现 $arr[i] - arr[j] >= arr[j]$，说明即使存在值为 $arr[i] - arr[j]$ 的下标 $t$，根据
arr单调递增性质，也不满足 $t < j < i$ 的要求，且继续枚举更小的 $j$，仍然有 $arr[i] - arr[j] >= arr[j]$，仍不合法，直接break掉当前枚举 $j$ 的搜索分支； - 最优性剪枝：假设当前最大长度为
ans，只有当 $j + 2 > ans$，我们才有必要往下搜索，$j + 2$ 的含义为以 $arr[j]$ 为斐波那契数列倒数第二个数时的理论最大长度。
Java 代码：1
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18class Solution {
public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) {
int n = arr.length, ans = 0;
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < n; i++) map.put(arr[i], i);
int[][] f = new int[n][n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) {
if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break;
int t = map.getOrDefault(arr[i] - arr[j], -1);
if (t == -1) continue;
f[i][j] = Math.max(3, f[j][t] + 1);
ans = Math.max(ans, f[i][j]);
}
}
return ans;
}
}
C++ 代码：1
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20class Solution {
public:
int lenLongestFibSubseq(vector<int>& arr) {
int n = arr.size(), ans = 0;
unordered_map<int, int> map;
for (int i = 0; i < n; i++) map[arr[i]] = i;
vector<vector<int>> f(n, vector<int>(n, 0));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) {
if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break;
auto it = map.find(arr[i] - arr[j]);
if (it == map.end()) continue;
int t = it->second;
f[i][j] = max(3, f[j][t] + 1);
ans = max(ans, f[i][j]);
}
}
return ans;
}
};
Python 代码：1
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16class Solution:
def lenLongestFibSubseq(self, arr: List[int]) -> int:
n, ans = len(arr), 0
mapping = {num: idx for idx, num in enumerate(arr)}
f = [[0] * n for _ in range(n)]
for i in range(n):
j = i - 1
while j >= 0 and j + 2 > ans:
if arr[i] - arr[j] >= arr[j]:
break
t = mapping.get(arr[i] - arr[j], -1)
if t != -1:
f[i][j] = max(3, f[j][t] + 1)
ans = max(ans, f[i][j])
j -= 1
return ans
TypeScript 代码：1
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16function lenLongestFibSubseq(arr: number[]): number {
let n = arr.length, ans = 0;
const map = new Map<number, number>();
for (let i = 0; i < n; i++) map.set(arr[i], i);
const f = Array.from({length: n}, () => Array(n).fill(0));
for (let i = 0; i < n; i++) {
for (let j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) {
if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break;
const t = map.has(arr[i] - arr[j]) ? map.get(arr[i] - arr[j]) : -1;
if (t === -1) continue;
f[i][j] = Math.max(3, f[j][t] + 1);
ans = Math.max(ans, f[i][j]);
}
}
return ans;
};
- 时间复杂度：存入哈希表复杂度为 $O(n)$；
DP过程复杂度为 $O(n^2)$。整体复杂度为 $O(n^2)$ - 空间复杂度：$O(n^2)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.873 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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