LC 646. 最长数对链

题目描述

这是 LeetCode 上的 646. 最长数对链 ,难度为 中等

给出 n 个数对。

在每一个数对中,第一个数字总是比第二个数字小。

现在,我们定义一种跟随关系,当且仅当 b < c 时,数对 $(c, d)$ 才可以跟在 $(a, b)$ 后面。我们用这种形式来构造一个数对链。

给定一个数对集合,找出能够形成的最长数对链的长度。你不需要用到所有的数对,你可以以任何顺序选择其中的一些数对来构造。

示例:

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输入:[[1,2], [2,3], [3,4]]

输出:2

解释:最长的数对链是 [1,2] -> [3,4]

提示:

  • 给出数对的个数在 $[1, 1000]$ 范围内。

排序 + 贪心 DP

起始先将 pairs 根据第一维排升序(或直接双关键字排升序)。

考虑定义 $f[i]$ 为以 $pairs[i]$ 为结尾的最长数对链长度,所有 $f[i]$ 中的最大值为答案。

不失一般性考虑 $f[i]$ 该如何转移:不难发现 $f[i]$ 为所有满足「下标范围在 $[0, i - 1]$,且 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$」条件的 $f[j] + 1$ 的最大值。

但实际上,我们只需要从 $j = i - 1$ 开始往回找,找到第一个满足 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$ 的位置 $j$ 即可。

容易证明该做法的正确性:假设贪心解(该做法)找到的位置 $j$ 不是最优位置,即存在比 $j$ 更小的合法下标 $j’$ 满足 $f[j’] > f[j]$。根据我们的排序规则必然有 $pairs[j’][0] <= pairs[j][0]$ 的性质,则可知 $pairs[j]$ 必然可以代替 $pairs[j’]$ 接在原本以 $pairs[j’]$ 为结尾的最优数链上(最优数链长度不变,结果不会变差),则至少有 $f[j’] = f[j]$。

Java 代码:

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class Solution {
public int findLongestChain(int[][] pairs) {
Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
int n = pairs.length, ans = 1;
int[] f = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = i - 1; j >= 0 && f[i] == 1; j--) {
if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) f[i] = f[j] + 1;
}
ans = Math.max(ans, f[i]);
}
return ans;
}
}

C++ 代码:
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class Solution {
public:
int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {
sort(pairs.begin(), pairs.end());
int n = pairs.size(), ans = 1;
vector<int> f(n, 1);
for (int i = 0; i < n; i++) {
f[i] = 1;
for (int j = i - 1; j >= 0 && f[i] == 1; j--) {
if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) f[i] = f[j] + 1;
}
ans = max(ans, f[i]);
}
return ans;
}
};

Python 代码:
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class Solution:
def findLongestChain(self, pairs: List[List[int]]) -> int:
pairs.sort()
n, ans = len(pairs), 1
f = [1] * n
for i in range(n):
j = i - 1
while j >= 0 and f[i] == 1:
if pairs[j][1] < pairs[i][0]:
f[i] = f[j] + 1
j -= 1
ans = max(ans, f[i])
return ans

TypeScript 代码:
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function findLongestChain(pairs: number[][]): number {
pairs.sort((a, b) => a[0] - b[0]);
let n = pairs.length, ans = 1;
const f: number[] = new Array(n).fill(1);
for (let i = 0; i < n; i++) {
f[i] = 1;
for (let j = i - 1; j >= 0 && f[i] == 1; j--) {
if (pairs[j][1] < pairs[i][0]) f[i] = f[j] + 1;
}
ans = Math.max(ans, f[i]);
}
return ans;
};

  • 时间复杂度:排序的复杂度为 $O(n\log{n})$;不考虑剪枝效果 DP 复杂度为 $O(n^2)$。整体复杂度为 $O(n^2)$
  • 空间复杂度:$O(n)$

排序 + 贪心 DP(优化转移)

根据上述分析,我们知道对于一个特定的 $pairs[i]$ 而言,其所有合法(满足条件 $pairs[j][1] < pairs[i][0]$)的前驱状态 $f[j]$ 必然是非单调递增的。

根据 LIS 问题的贪心解的思路,我们可以额外使用一个数组记录下特定长度数链的最小结尾值,从而实现二分找前驱状态。

具体的,创建 $g$ 数组,其中 $g[len] = x$ 代表数链长度为 $len$ 时结尾元素的第二维最小值为 $x$。

如此一来,当我们要找 $f[i]$ 的前驱状态时,等价于在 $g$ 数组中找满足「小于 $pairs[i][0]$」的最大下标。同时,我们不再需要显式维护 $f$ 数组,只需要边转移变更新答案即可。

不了解 LIS 问题的同学可以看前置 🧀 : LCS 问题与 LIS 问题的相互关系,以及 LIS 问题的最优解证明 🎉🎉🎉

Java 代码:

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class Solution {
public int findLongestChain(int[][] pairs) {
Arrays.sort(pairs, (a,b)->a[0]-b[0]);
int n = pairs.length, ans = 1;
int[] g = new int[n + 10];
Arrays.fill(g, 0x3f3f3f3f);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int l = 1, r = i + 1;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (g[mid] >= pairs[i][0]) r = mid;
else l = mid + 1;
}
g[r] = Math.min(g[r], pairs[i][1]);
ans = Math.max(ans, r);
}
return ans;
}
}

C++ 代码:
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class Solution {
public:
int findLongestChain(vector<vector<int>>& pairs) {
sort(pairs.begin(), pairs.end());
int n = pairs.size(), ans = 1;
vector<int> g(n + 10, 0x3f3f3f3f);
for (int i = 0; i < n; i++) {
int l = 1, r = i + 1;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1;
if (g[mid] >= pairs[i][0]) r = mid;
else l = mid + 1;
}
g[r] = min(g[r], pairs[i][1]);
ans = max(ans, r);
}
return ans;
}
};

Python 代码:
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class Solution:
def findLongestChain(self, pairs: List[List[int]]) -> int:
pairs.sort()
n, ans = len(pairs), 1
g = [0x3f3f3f3f] * (n + 10)
for i in range(n):
l, r = 1, i + 1
while l < r:
mid = l + r >> 1
if g[mid] >= pairs[i][0]:
r = mid
else:
l = mid + 1
g[r] = min(g[r], pairs[i][1])
ans = max(ans, r)
return ans

TypeScript 代码:
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function findLongestChain(pairs: number[][]): number {
pairs.sort((a, b) => a[0] - b[0]);
let n = pairs.length, ans = 1;
const g: number[] = new Array(n + 10).fill(0x3f3f3f3f);
for (let i = 0; i < n; i++) {
let l = 1, r = i + 1;
while (l < r) {
const mid = l + r >> 1;
if (g[mid] >= pairs[i][0]) r = mid;
else l = mid + 1;
}
g[r] = Math.min(g[r], pairs[i][1]);
ans = Math.max(ans, r);
}
return ans;
};

  • 时间复杂度:排序的复杂度为 $O(n\log{n})$;DP 复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
  • 空间复杂度:$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.646 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode

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