LC 808. 分汤
题目描述
这是 LeetCode 上的 808. 分汤 ,难度为 中等。
有 A
和 B
两种类型 的汤,一开始每种类型的汤有 n
毫升。
有四种分配操作:
- 提供
100ml
的 汤A 和0ml
的 汤B 。 - 提供
75ml
的 汤A 和25ml
的 汤B 。 - 提供
50ml
的 汤A 和50ml
的 汤B 。 - 提供
25ml
的 汤A 和75ml
的 汤B 。
当我们把汤分配给某人之后,汤就没有了。
每个回合,我们将从四种概率同为 0.25
的操作中进行分配选择。
如果汤的剩余量不足以完成某次操作,我们将尽可能分配。
当两种类型的汤都分配完时,停止操作。
注意 不存在先分配 100 ml
汤B 的操作。
需要返回的值:汤A 先分配完的概率 + 汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。
返回值在正确答案 $10^{-5}$ 的范围内将被认为是正确的。
示例 1:1
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8输入: n = 50
输出: 0.62500
解释:如果我们选择前两个操作,A 首先将变为空。
对于第三个操作,A 和 B 会同时变为空。
对于第四个操作,B 首先将变为空。
所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。
示例 2:1
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3输入: n = 100
输出: 0.71875
提示:
- $0 <= n <= 10^9$
数学 + 动态规划
四种分配方式都是 $25$ 的倍数,因此我们可以将 $n$ 进行除以 $25$ 上取整的缩放操作,并将四类操作等价成:
- 提供
4ml
的 汤A 和0ml
的 汤B 。 - 提供
3ml
的 汤A 和1ml
的 汤B 。 - 提供
2ml
的 汤A 和2ml
的 汤B 。 - 提供
1ml
的 汤A 和3ml
的 汤B 。
定义 $f[i][j]$ 为 汤A 剩余 $i$ 毫升,汤B 剩余 $j$ 毫升时的最终概率($概率 = 汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 \times 0.5$)。
最终答案为 $f[n][n]$ 为最终答案,考虑任意项存在为 $0$ 情况时的边界情况:
- 若 $i = 0$ 且 $j = 0$,结果为 $0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,即有 $f[0][0] = 0.5$
- 若 $i = 0$ 且 $j > 0$,结果为 $1 + 0 = 1$,即有 $f[0][X] = 1$,其中 $X > 1$
- 若 $i > 0$ 且 $j = 0$,结果为 $0 + 0 = 0$,即有 $f[X][0] = 0$,其中 $X > 1$
其余一般情况为 $i$ 和 $j$ 均不为 $0$,由于四类操作均为等概率,结合题意和状态定义可知:
由于 $n = 1e9$,即使进行了除 $25$ 的缩放操作,过多的状态数仍会导致 TLE
。
此时需要利用「返回值在正确答案 $10^{-5}$ 的范围内将被认为是正确的」来做优化(一下子不太好想到):由于四类操作均是等概率,单个回合期望消耗汤 A 的量为 $2.5$,消耗汤 B 的量为 $1.5$。
因此当 $n$ 足够大,操作回合足够多,汤 A 将有较大的概率结束分配,即当 $n$ 足够大,概率值会趋向于 $1$。
我们考虑多大的 $n$ 能够配合精度误差 $10^{-5}$ 来减少计算量:一个可行的操作是利用上述的 DP 思路 + 二分的方式找到符合精度要求的验算值(不超过 $200$)。
Java 代码:1
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16class Solution {
public double soupServings(int n) {
n = Math.min(200, (int) Math.ceil(n / 25.0));
double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
f[0][0] = 0.5;
for (int j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= n; j++) {
double a = f[Math.max(i - 4, 0)][j], b = f[Math.max(i - 3, 0)][Math.max(j - 1, 0)];
double c = f[Math.max(i - 2, 0)][Math.max(j - 2, 0)], d = f[Math.max(i - 1, 0)][Math.max(j - 3, 0)];
f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
}
}
return f[n][n];
}
}
C++ 代码:1
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17class Solution {
public:
double soupServings(int n) {
n = min(200, (int)ceil(n / 25.0));
vector<vector<double>> f(n + 10, vector<double>(n + 10, 0));
f[0][0] = 0.5;
for (int j = 1; j <= n; ++j) f[0][j] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
double a = f[max(i - 4, 0)][j], b = f[max(i - 3, 0)][max(j - 1, 0)];
double c = f[max(i - 2, 0)][max(j - 2, 0)], d = f[max(i - 1, 0)][max(j - 3, 0)];
f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
}
}
return f[n][n];
}
};
Python 代码:1
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13class Solution:
def soupServings(self, n: int) -> float:
n = min(200, math.ceil(n / 25))
f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
f[0][0] = 0.5
for j in range(1, n + 10):
f[0][j] = 1
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, n + 1):
a, b = f[max(i - 4, 0)][j], f[max(i - 3, 0)][max(j - 1, 0)]
c, d = f[max(i - 2, 0)][max(j - 2, 0)], f[max(i - 1, 0)][max(j - 3, 0)]
f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d)
return f[n][n]
TypeScript 代码:1
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14function soupServings(n: number): number {
n = Math.min(200, Math.ceil(n / 25.0));
const f: number[][] = Array(n + 10).fill(0).map(() => Array(n + 10).fill(0));
f[0][0] = 0.5;
for (let j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1;
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let j = 1; j <= n; j++) {
let a = f[Math.max(i - 4, 0)][j], b = f[Math.max(i - 3, 0)][Math.max(j - 1, 0)];
let c = f[Math.max(i - 2, 0)][Math.max(j - 2, 0)], d = f[Math.max(i - 1, 0)][Math.max(j - 3, 0)];
f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d);
}
}
return f[n][n];
};
- 时间复杂度:$O(m^2)$,其中 $m = 200$ 为验算值
- 空间复杂度:$O(m^2)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.808
篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
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