LC 1697. 检查边长度限制的路径是否存在

题目描述

这是 LeetCode 上的 1697. 检查边长度限制的路径是否存在 ，难度为 困难。

给你一个 n 个点组成的无向图边集 edgeList，其中 $edgeList[i] = [u_i, v_i, dis_i]$ 表示点 $u_i$ 和点 $v_i$ 之间有一条长度为 $dis_i$ 的边。请注意，两个点之间可能有 超过一条边 。

给你一个查询数组 queries，其中 $queries[j] = [p_j, q_j, limit_j]$ ，你的任务是对于每个查询 $queries[j]$ ，判断是否存在从 $p_j$ 到 $q_j$ 的路径，且这条路径上的每一条边都 严格小于 $limit_j$ 。

请你返回一个 布尔数组 answer，其中 answer.length == queries.length，当 $queries[j]$ 的查询结果为 true 时， answer 第 j 个值为 true ，否则为 false 。

示例 1：

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输入：n = 3, edgeList = [[0,1,2],[1,2,4],[2,0,8],[1,0,16]], queries = [[0,1,2],[0,2,5]]

输出：[false,true]

解释：上图为给定的输入数据。注意到 0 和 1 之间有两条重边，分别为 2 和 16 。
对于第一个查询，0 和 1 之间没有小于 2 的边，所以我们返回 false 。
对于第二个查询，有一条路径（0 -> 1 -> 2）两条边都小于 5 ，所以这个查询我们返回 true 。

示例 2：

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输入：n = 5, edgeList = [[0,1,10],[1,2,5],[2,3,9],[3,4,13]], queries = [[0,4,14],[1,4,13]]

输出：[true,false]

解释：上图为给定数据。

提示：

  • $2 <= n <= 10^5$
  • $1 <= edgeList.length, queries.length <= 10^5$
  • $edgeList[i].length == 3$
  • $queries[j].length == 3$
  • $0 <= u_i, v_i, p_j, q_j <= n - 1$
  • $u_i != v_i$
  • $p_j != q_j$
  • $1 <= dis_i, limit_j <= 10^9$
  • 两个点之间可能有多条边。

排序 + 并查集 + 双指针

为了方便，我们将点数记为 n，边数记为 m，询问数量记为 k，将 edgeList 简化为 es，将 queries 简化为 qs。

对于点边数量都在 $10^5$，同时询问次数也在 $10^5$ 的问题，不可能对于每个询问执行最短路算法，尤其还需考虑边权限制。

对于一个询问 $(a, b, limit)$ 而言，等价于问我们使用所有边权小于 limit 的边，能否使得 a 和 b 两点联通。

关于回答连通性问题，容易想到并查集。同时我们可以通过「调整回答询问的顺序」来降低复杂度（避免重复重置并查集和添加某些边），即转换为离线问题来处理。

何为离线问题？预先知道所有询问，能够通过调整回答询问的顺序，来降低算法复杂度。同时不同询问相互独立，不会因为调整询问顺序，对每个询问的结果造成影响。例如莫队算法。

具体的，我们可以对边集 es 和所有询问 qs 分别按照「边权」以及「限制」排升序。为了排序后，仍能知道当前询问的原编号，我们要将所有的 qs[i] 转换为四元组。

随后从前往后处理每个询问 qs[i] = (a, b, t, idx)，同时使用变量 j 来记录当前处理到的边。在查询 a 和 b 是否连通前，先将边集 es 中所有所有边权小于 t 的边应用到并查集上，从而实现每次 ans[idx] = query(a, b) 查询到的是原图中所有边权小于限制值 t 的子图。

Java 代码：

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class Solution {
    static int N = 100010;
    static int[] p = new int[N];
    int find(int x) {
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }
    void union(int a, int b) {
        p[find(a)] = p[find(b)];
    }
    boolean query(int a, int b) {
        return find(a) == find(b);
    }
    public boolean[] distanceLimitedPathsExist(int n, int[][] es, int[][] _qs) {
        for (int i = 0; i < n; i++) p[i] = i;
        int m = es.length, k = _qs.length;
        int[][] qs = new int[k][4];
        for (int i = 0; i < k; i++) qs[i] = new int[]{_qs[i][0], _qs[i][1], _qs[i][2], i};
        Arrays.sort(qs, (a,b)->a[2]-b[2]);
        Arrays.sort(es, (a,b)->a[2]-b[2]);
        boolean[] ans = new boolean[k];
        for (int i = 0, j = 0; i < k; i++) {
            int a = qs[i][0], b = qs[i][1], t = qs[i][2], idx = qs[i][3];
            while (j < m && es[j][2] < t) {
                union(es[j][0], es[j][1]);
                j++;
            }
            ans[idx] = query(a, b);
        }
        return ans;
    }
}

TypeScript 代码：
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function distanceLimitedPathsExist(n: number, es: number[][], _qs: number[][]): boolean[] {
    const p = new Array<number>(n).fill(0)
    for (let i = 0; i < n; i++) p[i] = i;
    function find(x: number): number {
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x])
        return p[x]
    }
    function union(a: number, b: number): void {
        p[find(a)] = p[find(b)]
    }
    function query(a: number, b: number): boolean {
        return find(a) == find(b)
    }
    const m = es.length, k = _qs.length
    const qs = []
    for (let i = 0; i < k; i++) qs.push([_qs[i][0], _qs[i][1], _qs[i][2], i])
    qs.sort((a, b)=>a[2]-b[2])
    es.sort((a, b)=>a[2]-b[2])
    const ans = new Array<boolean>(k).fill(false)
    for (let i = 0, j = 0; i < k; i++) {
        const a = qs[i][0], b = qs[i][1], t = qs[i][2], idx = qs[i][3]
        while (j < m && es[j][2] < t) {
            union(es[j][0], es[j][1])
            j++
        }
        ans[idx] = query(a, b)
    }
    return ans
}

Python 代码：
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class Solution:
    def distanceLimitedPathsExist(self, n: int, es: List[List[int]], _qs: List[List[int]]) -> List[bool]:
        p = [i for i in range(n)]
        def find(x):
            if p[x] != x:
                p[x] = find(p[x])
            return p[x]
        def union(a, b):
            p[find(a)] = p[find(b)]
        def query(a, b):
            return find(a) == find(b)
        m, k = len(es), len(_qs)
        qs = [(a, b, c, i) for i, (a, b, c) in enumerate(_qs)]
        es.sort(key=lambda x: x[2])
        qs.sort(key=lambda x: x[2])
        j = 0
        ans = [False] * k
        for i in range(k):
            a, b, t, idx = qs[i]
            while j < m and es[j][2] < t:
                union(es[j][0], es[j][1])
                j += 1
            ans[idx] = query(a, b)
        return ans

  • 时间复杂度：初始化并查集的复杂度为 $O(n)$；对所有边进行排序复杂度为 $O(m\log{m})$；对所有询问进行排序复杂度为 $O(k\log{k})$；统计答案时使用双指针的方式将所有边运用到并查集上，整体复杂度为 $O(k + m)$。整体复杂度为 $O(n + m\log{m} + k\log{k})$
  • 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1697 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。

在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。